Analisi Matematica II by Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

By Claudio Canuto, Anita Tabacco (auth.)

Il presente testo intende essere di supporto advert un secondo insegnamento di Analisi Matematica in quei corsi di studio (quali advert esempio Ingegneria, Informatica, Fisica) in cui lo strumento matematico parte significativa della formazione dell'allievo.

I concetti e i metodi fondamentali del calcolo differenziale ed integrale in più variabili, le serie di funzioni e le equazioni differenziali ordinarie sono presentati con l'obiettivo primario di addestrare lo studente advert un loro uso operativo, ma critico. L'impostazione didattica dell'opera ricalca quella usata nel testo parallelo di Analisi Matematica I. los angeles modalit`di presentazione degli argomenti ne permette un uso flessibile e modulare. Lo stile adottato privilegia l. a. chiarezza e l. a. linearit`dell'esposizione. Il testo organizzato su due livelli di lettura. Uno, più essenziale, permette allo studente di cogliere i concetti indispensabili della materia, di familiarizzarsi con le relative tecniche di calcolo e di trovare le giustificazioni dei principali risultati. L'altro, più approfondito e basato anche sullo studio del materiale presentato nelle appendici, permette all'allievo maggiormente motivato ed interessato di arricchire los angeles sua preparazione. Numerosi esempi corredano e illustrano le definizioni e le propriet`di volta in volta enunciate. Viene fornito un cospicuo numero di esercizi, tutti con l. a. relativa soluzione. according to oltre los angeles met`di essi si delinea in modo completo il procedimento risolutivo.

Questa nuova edizione si presenta arricchita di contenuti rispetto alla precedente in modo da rispondere alle varied possibili scelte didattiche nell'organizzazione di un secondo corso di Analisi Matematica.

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Lim · k→∞ (k + 1)k+1 k→∞ k! lim k k+1 k = lim k→∞ 1+ 1 k −k = e−1 . Pertanto il raggio di convergenza vale R = e. iii) Consideriamo la serie ∞ k=2 2 2k + 1 (x − 2)2k . 10) Conviene porre y = (x−2) e studiare la serie di potenze in y centrata nell’origine ∞ k=2 2k + 1 yk . 11) Risulta lim k k→∞ 2k + 1 =1 (k − 1)(k + 2) e quindi in raggio di convergenza di tale serie vale 1. 20). 11) converge per −1 ≤ y < 1. Ritornando alla variabile x, questo equivale a −1 ≤ (x − 2)2 < 1. La prima disequazione `e sempre verificata, mentre la seconda `e vera per −1 < x − 2 < 1.

Inoltre tale verifica, fatta in base alla definizione, presuppone la conoscenza della funzione somma; come abbiamo visto neppure per le serie numeriche la somma `e calcolabile esplicitamente in generale. Forniamo allora, nel seguito, una condizione sufficiente che garantisce la convergenza uniforme di una serie e che non richiede la conoscenza della sua somma. 20 (Criterio di Weierstrass) Sia {fk }k≥k0 una successione di funzioni definite in X e sia {Mk }k≥k0 una successione di numeri reali tali che, per ogni k ≥ k0 , si abbia |fk (x)| ≤ Mk , ∀x ∈ X .

N→∞ 4 o) Diverge a −∞. p) Converge a 0. 3. Comportamento di successioni: a) Diverge a +∞. b) Indeterminata. 1 i)) si ha 4n ( 3 )n − 1 lim an = lim n 4−n = −1 ; n→∞ n→∞ 4 (4 + 1) quindi la successione converge a −1. d) Diverge a +∞. e) Scriviamo an = 2n 2n − 1 n+2 n+1 2n(2n − 1) · · · (n + 2)(n + 1) = · ··· · > n+1, n(n + 1) · · · 2 · 1 n n−1 2 1 poich´e lim (n+1) = +∞, per il secondo Teorema del confronto (caso infinito), n→∞ si deduce che la successione diverge a +∞. f) Converge a 1. g) Poich´e n2 − n + 1 , an = exp n2 + 2 log 2 n +n+2 studiamo la successione bn = n2 + 2 log n2 − n + 1 = n2 + n + 2 Osserviamo che lim n→∞ n2 + 2 log 1 − 2n + 1 +n+2 n2 2n + 1 =0 n2 + n + 2 e quindi log 1 − 2n + 1 n2 + n + 2 ∼− 2n + 1 , n2 + n + 2 n → ∞.

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