Analysis I - IV by Hilgert J.

By Hilgert J.

Der vorliegende textual content ist eine vorlaufige Ausarbeitung meiner Vorlesungen research I-IV (Wintersemester 2004/2005 { Sommersemester 2006) an der Universitat Paderborn.

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Zeige, daß dann auch f + g und f g auf [a, b] beschr¨ ankt sind. 7 : (i) Gib ein Beispiel einer Funktion f : [0, 1] → R, die kein Maximum auf diesem Intervall hat, (ii) Gib ein Beispiel einer stetigen Funktion auf einem unbeschr¨ ankten Intervall, die kein Maximum auf diesem Intervall hat, (iii) Gib ein Beispiel einer stetigen Funktion auf einem beschr¨ ankten Intervall, die kein Maximum auf diesem Intervall hat. 8 : Sei I ⊆ R ein Intervall. Zeige, daß jede strikt monotone Funktion f : I → R eine Bijektion f : I → f (I), x → f (x) induziert.

X ∈ A : f (x) = y. Seien I und J Intervalle in R und f : I → J eine Funktion. Als Relation hat man dann f = {(x, y) ∈ I × J | f (x) = y}. Setze f −1 = {(y, x) ∈ J × I | (x, y) ∈ f } Diese Relation ist genau dann eine Funktion f −1 : J → I, wenn f : I → J bijektiv ist. In diesem Fall heißt die Funktion f −1 : J → I, f (x) → x die Umkehrfunktion von f . y J ✻ f −1 (x)....... ♣ ... ... . ... ... ...... ......... ............. . . . . . . . . ..... .......... ........ 4 : Sei I ein Intervall in R und f : I → R eine strikt monoton steigende (fallende) stetige Funktion.

6 die Relation ≤ und nicht < auftaucht. B. die Funktion f durch f (x) = −x und die Funktion g durch g(x) = x gegeben ist, dann gilt f (x) < g(x) f¨ ur alle x > 0, aber limx→0+ f (x) = limx→0+ g(x) = 0. 7 : Seien f, g und h reellwertige Funktionen, die auf einer Teilmenge M von R definiert sind und x0 ∈ R erf¨ ulle eine der drei folgenden Bedingungen   ∀δ > 0 : ]x0 , x0 + δ[ ∩M = ∅, ∀δ > 0 : ]x0 − δ, x0 [ ∩M = ∅,   ∀δ > 0 : ]x0 − δ, x0 + δ[ ∩M = ∅. Wir nehmen an, daß f, g und h entsprechend ein- oder beidseitige Grenzwerte in x0 haben.

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